K 16:15-18:00 (H406)
Hírek
- A szóbeli vizsga tételsora a lenti táblázat 3. oszlopában található.
- A BME-n elérhető a Matlab program teljes egyetemi licenccel. A telepítési útmutató elérhető ezen a belső linken.
Segédanyagok
- Az előadás diái (nyomtatóbarát változat)
- Jegyzet: Horváth-Izsák-Karátson: Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása, számítógépes alkalmazásokkal, ELTE, 2013.
- Ha valaki hibát talál a jegyzetben, kérem, hogy az alábbi hibabejelentő űrlapon jelezze ezt felénk. Hibabejelentő. (Az eddigi hibák listája.)
Előadások és gyakorlatok beosztása, kitűzött feladatok
| Hét | Előadás / gyakorlat | Tételsor |
|---|---|---|
| 1. (02.04.) |
Tárgykövetelmények ismertetése. Néhány nevezetes PDE áttekintése. A Poisson-egyenlet megoldása a véges differencia módszerrel. / Ritka mátrixok. A Poisson-egyenlet megoldása egységnégyzeten Dirichlet-peremfeltétel mellett. |
|
| 2. (02.11.) |
A Poisson-egyenlet megoldása (folytatás). A megoldandó egyenletrendszer felírása. Az együtthatómátrix M-mátrix. A másodrendű konvergencia igazolása. Robin-peremfeltétel kezelése a konvergenciarend megőrzése mellett. Shortly-Weller-approximáció. / A 9-pontos Laplace és használata rendnövelésre. A Poisson-egyenlet megoldása Neumann-peremmel, ill. háromszögtartományon. |
1. A Poisson-egyenlet megoldása (vizsga jellegű tétel - 15-36. dia (27-28. kivételével)). A numerikus séma konstrukciója téglalapon. A megoldandó egyenletrendszer szerkezete. A konvergencia, konzisztencia és stabilitás fogalma. A konvergencia igazolása téglalaptartomány és Dirichlet-peremfeltétel esetére (biz.). A Robin-peremfeltétel kezelése az oldaléleken ill. a csúcsokban téglalaptartomány esetén. Nemtégla tartományok kezelése a Shorly–Weller-approximációval. |
| 3. (02.18.) |
A többrácsos (multigrid) módszer / A többrácsos módszer az 1D Poisson-egyenletre Dirichlet- és Neumann-perem esetén. |
2. A többrácsos módszer (záróvizsga jellegű tétel - 37-58. dia). Milyen lehetőségek vannak a Poisson-egyenlet diszkretizációjából keletkező egyenletrendszerek megoldására? A 40-44. diából elég annyit elmondani, hogy az iterációs megoldások általában lassan konvergálnak, de az elérhető, hogy a hibavektorból hamar eltünjenek a magas frekvenciás sajátvektorokhoz tartozó összetevők, azaz pár lépésen belül "kisimul" a hiba. Ezt felhasználva ismertessük a kétrácsos módszer alapötletét (restrikció, prolongáció, durva rács korrekció). Hogyan lehet több rácsra használni az ötletet (V ill. W ciklusok)? Mit mondhatunk a műveletszámok nagyságrendjéről? A tételek állításai nem kellenek, ill. nem kell semmit sem bizonyítani. |
| 4. (02.25.) | Az 1D hővezetési egyenlet megoldása az explicit Euler (FTCS) séma segítségével. A módszer vektoriterációs alakja. Egy elégséges feltétel az EE-módszer konvergenciájára ($q\le 1/2$, maximumnormában). Tridiagonális mátrixok sajátértékeinek segítségével a szükségesség megmutatása. / Az 1D hővezetési egyenlet megoldása különböző kezdeti- és peremfeltételek esetén. A konvergenciarendek összehasonlítása. - Az egydimenziós hővezetési egyenlet megoldása a véges differenciás módszerrel homogén Dirichlet peremfeltétel esetén - EgyDimHovezHomDir.m - Házi feladat: 4. feladatsor |
|
| 5. (03.04.) | Implicit módszerek az 1D hővezetési egyenletre: implicit Euler-módszer, Crank-Nicolson-módszer, $\theta$-módszer. Időben elsőrendű lineáris kezdetiérték-feladatok numerikus megoldásának konvergenciavizsgálata: konvergencia, konzisztencia, stabilitás (egy adott normában), Lax-tétel. Egy példa az 1D hővezetési egyenletre felírt kezdetiértékfeladat konvergenciájára maximumnormában. Diszkrét Fourier-transzformáció és tulajdonságai. Növekedési faktor. / Implicit módszerek az 1D hővezetési feladatra. Növekedési faktorok számítása. - Házi feladat: 5. feladatsor |
3. Lax-tétel időben elsőrendű lineáris feladatokra (vizsga jellegű tétel - 85-95. dia + a példák diái (ahol a bizonyításoknál lehet most már a Lax-tételre hivatkozni): 62, 64, 67, 69, 75-78, 82, 104, 110, 113). A sémák általános alakja. Konvergencia, konzisztencia, (exponenciális) stabilitás. Lax ekvivalencia tétele, ill. a Lax-tétel (biz.). A maximum- és $\|.\|_{2,\Delta x}$ normák. Példák a tétel alkalmazására (a 4. tétel eredményeit felhasználva): 1D hővezetési egyenletre vonatkozó EE, IE és CN-sémák konvergenciája (a sémák ismertetése, és a konvergencia szükséges és elégséges feltételeinek megadása). |
| 6. (03.11.) |
Stabilitás eldöntése maximum és $\|.\|_{2,\Delta x}$ normában. Szükséges és elégséges feltételek a stabilitásra kezdeti- és kezdeti és peremértékfeladatok esetén. von Neumann-feltétel. Implicit módszerek, ill. többlépéses módszerek esete. Példák a konvergencia igazolására. / Konvergenciavizsgálatok (diffúzió-reakciós egyenlet, CTCS-séma, Dufort-Frankel-séma. Advekciós egyenlet megoldása az FTCS és Lax-Friedrichs-sémákkal. |
4. Stabilitásvizsgálati módszerek (vizsga jellegű tétel - 96-117. dia) Stabilitás maximum és $\|.\|_{2,\Delta x}$ normákban. Diszkrét Fourier-transzformáció és tulajdonságai. A növekedési faktor. von Neumann-feltétel, mint a stabilitás szükséges és elégséges felétele kezdetiértékfeladatok esetén (csak az elégségességet kell igazolni). A stabilitás szükséges és elégséges feltételei kezdeti- és peremértékfeladatok esetén. Implicit módszerek, ill. kétlépéses módszerek stabilitása.
|
| 7. (03.25.) |
Elsőrendű hiperbolikus egyenletek megoldása. Az egydimenziós advekciós egyenlet. A FTCS séma nem stabil. CFL-feltétel, mint szükséges feltétel a konvergenciára. Az upwind és Lax-Wendroff-sémák vizsgálata. Diszperzió és disszipáció. / A Lax-Friedrichs-séma disszipációja és diszperziója. A CFL-feltétel másodrendű hiperbolikus és parabolikus feladatokra. Sémák stabilizálása mesterséges diffúzióval (FTCS-ből Lax-Friedrichs). Implicit upwind séma. Lax-Wendroff-séma numerikus peremfeltétellel. |
5. Elsőrendű hiperbolikus egyenletek megoldása (vizsga jellegű tétel), 117-154. dia. CFL-feltétel, mint a konvergencia szükséges feltétele. Nevezetes sémák az advekciós egyenletre (upwind, Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff), a sémák származtatása, stabilitási feltételük. Pl. valamelyik implicit sémára, a Shermann-Morrison-formula alkalmazása. Leap-frog-séma, stabilitása és inicializációja. Disszipáció és diszperzió fogalma (elég a fogalmakat ismertetni). |
| (04.01.) |
Kétlépéses (háromréteges) sémák inicializálása. Az eltolt rácsos leap-frog séma egy elsőrendű hiperbolikus differenciálegyenlet-rendszerre. A másodrendű hullámegyenlet megoldása a CTCS-sémával. Az időben másodrendű, konzisztens sémák konvergenciájához elegendő a k-adrendű stabilitás. Az inicializálás feltétele. A kétdimenziós hővezetési egyenlet megoldása. / Az advekció-diffúziós egyenlet megoldása, a maximumnormabeli stabilitás feltétele az oszcillációmentesség biztosítására. A Burgers-egyenlet megoldása, gyenge megoldás. |
6. Másodrendű hullámegyenlet megoldása (vizsga jellegű tétel), 155-167. dia. A másodrendű egydimenziós hullámegyenlet megoldása, $k$-adrendű stabilitás. A kétdimenziós hullámegyenlet megoldása. A módszerek inicializálása. A kétdimenziós hővezetési egyenlet megoldása az ADI-módszer segítségével. |
| 9. (04.08.) | Nevezetes módszertípusok áttekintése. A végeselem módszer bevezetése. A minimalizációs és variációs feladatok ekvivalenciája. A Lax-Milgram-tétel. / Dékáni szünet miatt a gyakorlat elmarad. | |
| 10. (04.15.) |
A Lax-Milgram-tétel alkalmazása egy egydimenziós peremértékfeladatra, ill. a feladat megoldása a Galjorkin- és Ritz-módszerekkel. / Másodrendű hullámegyenlet megoldása, a kétdimenziós hővezetési és hullámegyenlet megoldása. Végeselem módszer 1D peremértékfeladatra. |
7. A végeselem módszer alapjai (vizsga jellegű tétel), 189-199. dia. Lax-Milgram-tétel, Galjorkin- és Ritz-módszerek, Galjorkin-ortogonalitás, Céa-lemma. |
| 11. (04.22.) | Az előadás és a gyakorlat elmarad (részletekben kerülnek pótlásra az órán megbeszéltek szerint). | |
| 12. (04.29.) |
Galjorkin-ortogonalitás, Céa-lemma. Hibabecslés az egydimenziós peremértékfeladat esetén $H^1$- és $L_2$-normában (Nitsche-trükk). / Végeselem módszer 1D peremértékfeladatra: szakaszonként másodfokú végeselemek használata, nem homogén Dirichlet- és Neumann-peremfeltételek kezelése. |
8. A végeselem módszer alapjai (vizsga jellegű tétel), órai anyag. A végeselem módszer bemutatása az egydimenziós peremértékfeladaton, hibabecslés $H^1$ és $L_2$-normában. |
|
13. |
A végeselem módszer a Poisson-egyenletre. / Biharmonikus egyenlet megoldása, a végeselem módszer a Poisson-egyenletre. |
9. A végeselem módszer a Poisson-egyenletre (záróvizsga jellegű tétel), 201-223, 236-239. dia. A gyenge egyenlet felírása a különböző feladattípusok esetén. A végeselem módszer konstrukciója a numerikus megoldás előállítására. Hibabecslések. |
| 14. (05.13.) | Inhomogén Dirichlet és Neumann-perem kezelése. Végeselem terek. Végeselem hibabecslések. Időfüggő feladatok kezelése. / A freeFEM++ és Matlab/pdetool programok használata parciális differenciálegyenletek numerikus megoldására. |
Hasznos linkek