Analízis 2 matematikusoknak, 2025. tavaszi félév

• Követelmények
• 1. zárthelyi
• témája: Szigma-algebra, halmazrendszerrel generált szigma-algebra. Atomok. Mérték, teljes mérték. Monoton növő vagy csökkenő halmazsorozat mértéke. Halmazsorozat limesz inferiorja, limesz superiorja, limesze. Borel-Cantelli lemma. Külső mérték. Caratheodory tulajdonság, külső mérték által definiált mérték. Külső mérték generálása halmazrendszerből vett fedések költségeinek infimumaként. Lebesgue külső mérték és Lebesgue-mérték a számegyenesen. Cantor-halmaz, kövér Cantor-halmaz. Számok tizedes- és kettedestört-előállításának számjegyeire tett kikötésekkel definiált számhalmazok Lebesgue-mértéke. Lebesgue-Stieltjes külső mérték és Lebesgue-Stieltjes mérték a számegyenesen. Radon mérték, approximációs tétel. Radon-mérték és Lebesgue-Stieltjes mérték kapcsolata.
• helye és ideje: H.607, március 20. csütörtök 8-10.
• Konzultáció: H.207, március 19. szerda 10-12
• Mintazh1
• zh1
• pzh1
• Eredmények
• 2. zárthelyi
• Témája: Mérhető függvények, mérhető függvények összege, szorzata, hányadosa. Mérhető függvények sorozatának limesze, sup, inf, lim sup, lim inf. Mértékben való (sztochasztikus) konvergencia, kapcsolata a pontonkénti konvergenciával. Egyszerű függvények. Nemnegatív mérhető függvény integrálja mérték szerint, az integrál alaptulajdonságai, Csebisev-egyenlőtlenség. Nemnegatív függvények sorozatának integrálja, Fatou lemma, Beppo-Levi tétel. Mérhető függvény integrálja, alaptulajdonságai. Lebesgue majorált konvergenciatétele. Szigma-algebrák direkt szorzata, mértékek szorzata, integrálás a szorzatmérték szerint, Fubini tétele. Kapcsolat a Riemann- és Lebesgue-integrál között. L^p terek, alaptulajdonságaik, lényegében korlátos függvények. Minkowski egyenlőtlenség, Hölder-egyenlőtlenség. Integrálok becslése Hölder-egyenlőtlenséggel. Riesz-Fischer tétel. L^p nevezetes sűrű részhalmazai. Korlátos változású függvények, előállításuk monoton függvényekkel. Teljes változás, alaptulajdonságai. Lebesgue tétele monoton függvények deriválhatóságáról. Abszolút folytonos függvények, Newton-Leibniz formula, teljes változás felírása integrállal. Az integrálfüggvény abszolút folytonossága, deriválása. Parciális integrálás abszolút folytonos függvényekre és Lebesgue-Stieltjes mértékekre. Lebesgue-Stieltjes mérték szerinti integrálok kiszámítása. Helyettesítéses integrálás abszolút folytonos változóhelyettesítésre. Paraméteres integrál deriválása a paraméter szerint.
• Helye és ideje: május 8. csütörtök 8-10, H.607
• Konzultáció: május 7. szerda 10-12, H.607
• Mintazh2 Hogy több feladattípus szerepeljen, a mintazh 4. és 5. feladatában két opció közül lehet választani. Ilyen választási lehetőség az éles zh-ban nem lesz.
• Második zárthelyi pótlása: május 28. szerda 10-12 H.601
• Eredmények
• Pótpótzárthelyi: május 30 péntek 8-12 H.607. Mindkét zárthelyi pótolható különeljárási díj befizetése után. Korábbi eredményes zh-t javítani nem lehet.
• Vizsgák
• Tematika és Minimumkövetelmények
• Bizonyítások
• Minta vizsgazh 1. rész
• Minta vizsgazh 2. rész
• Vizsgaalkalmak: június 3, 10,17, 24. keddi napokon 8-10 H.607. Limit 13 fő/vizsga. Mivel 8.00-kor kezdünk, célszerű 7.50-ig megérkezni. Eredményhirdetés és opcionális szóbeli aznap délután, az írásbelin kihirdetett időpontban.
• Konzultáció: június 2 hétfő 10-12 H.607. A későbbi vizsgák előtt előzetes egyeztetés alapján konzultáció lehetséges