Tartalom

Hírek
Segédanyagok
Az előadások és gyakorlatok beosztása
Oktatók

Hírek

Az egyik (!) zárhelyi másodszor is pótolható különeljárási díj ellenében. A pótpótzh az első vizsgahét hétfőjén lesz (május 27., 8-10). Erre a zh-ra a Neptunban kell jelentkezni. A Neptunban a zh díjköteles pótlásként került kiírásra.
BME Matematika Verseny - 2019. április 29., hétfő, 10:15, Q-I. Bővebb információk
Kérjük azokat a hallgatókat, akik engedéllyel hosszabb munkaidőre jogosultak, hogy ezt mihamarabb jelezzék előadójuknak!
A tárgy adatlapja részletes tantárgyi tematikával
Analízis szigorlat informatikusoknak (már elérhető egy mintafeladatsor is a szigorlatra)
A BME-n elérhető a Matlab program teljes egyetemi licenccel. A telepítési útmutató elérhető ezen a belső linken.

Segédanyagok

A tárgy adatlapja részletes tantárgyi tematikával
Az alábbi jegyzeteket és példatárakat használjuk a félév során.
- A1J: Analízis 1 informatikusoknak jegyzet
- A1P: Analízis 1 informatikusoknak példatár
- A2J: Analízis 2 informatikusoknak jegyzet
- A2P: Analízis 2 informatikusoknak példatár
- Fourier-transzformáció és feladatok
Zárhelyik és megoldásaik
- 1. zh: A (megoldás), B (megoldás)
- 1. pótzh: A (megoldás), B (megoldás)
- 2. zh mintafeladatok: feladatsor (megoldás)
- 2. zh: A (megoldás), B (megoldás)
- 2. pótzh: A (megoldás), B (megoldás)
Korábbi előadók honlapjai
- Tasnádi Tamás
- Bodrogné Réffy Júlia
- Pataki Gergely
- Weiner Mihály, keresztfélév
- Kónya Ilona, archív
Mateking
Babcsányi feladatgyűjtemények további gyakorláshoz: I, II, III.
VIK Wiki
Korábbi vizsgák és szigorlatok tapasztalatai alapján a vizsgára és a szigorlatra készülve érdemes figyelni az alábbiakra:
- Fontos különbséget tenni a definíciók és tételek között. Pl., arra a kérdésre, hogy mikor hívunk egy függvényt konkávnak, nem az a válasz, hogy "ha a második deriváltja negatív," Ez egy elégséges feltétel a konkávságra, de nem ez a definíciója a konkávságnak.
- Fontos megkülönböztetni, hogy mely feltételek elégségesek és melyek szükségesek valamely állítás teljesüléséhez. Ha $A\Rightarrow B$ , azaz az $A$ állításból következik a $B$ állítás, akkor $A$ elégséges feltétele $B$ -nek, ugyanakkor $B$ szükséges feltétele $A$ -nak. Pl. az $f^\prime(x_0)=0$ feltétel szükséges ahhoz, hogy egy differenciálható függvénynek az $x_0$ pontban lokális szélsőértéke legyen, de nem elegendő hozzá (ezt mutatja pl. az $x^3$ függvény az $x_0=0$ helyen.)

Az előadások és gyakorlatok beosztása (Kisebb módosítások előfordulhatnak)

Tervezett szünetek: március 15. (pénteki gyakorlatok elmaradnak), március 18-22. (tavaszi szünet), április 16. (keddi előadás elmarad, 12 órától dékáni szünet a VIK-en, Simonyi Konferencia), április 19. (Nagypéntek, a pénteki gyakorlatok elmaradnak), április 22. (Húsvét, a hétfői gyakorlatok elmaradnak)

ZH-ütemezés (a kari ütemezés szerint): zh1: március 12. (6. hét kedd) 18-20, pót zh1: április 12. (9. hét péntek) 8-10, zh2: május 10. (13. hét péntek) 8-10, pót zh2: május 23. (pótlási hét csütörtök) 8-10, pótpót zh: május 27. (első vizsgahét hétfő) 8-10. Kérjük azokat a hallgatókat, akik engedéllyel hosszabb munkaidőre jogosultak, hogy ezt mihamarabb jelezzék előadójuknak!

Hét	Előadás (beosztás)	Gyakorlat (beosztás)
1. 02.04.	Kedd: Tárgykövetelmények ismertetése. Differenciálegyenletek (d.e.) bevezetése. Szétválasztható változójú d.e.-ek megoldása. Csütörtök: Elsőrendű lineáris d.e-ek megoldása.	Differenciálegyenletek bevezetése, szétválasztható változójú egyenletek. Órai feladatsor: Integrál, 1. hét Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2P 1.1.1-2., 1.2.1-6. Mateking: differenciálegyenletek
2. 02.11.	Kedd: Vektortér ismétlés (függetlenség, bázis, dimenzió). Az elsőrendű homogén lin. d.e. megoldásai egydim. vektorteret alkotnak. D.e.-ek megoldása új ismeretlen függvény bevezetésével. Vonalelem, iránymező, izoklina. Csütörtök: Magasabbrendű lineáris d.e.-ek megoldása. A homogén egyenlet megoldásai esetén a függetlenség ellenőrzése Wronski-determinánssal. Alaprendszer. Állandó együtthatós, lineáris, homogén egyenlet általános megoldásának előállítása a karakterisztikus egyenlet segítségével. Belső rezonancia.	Elsőrendű lineáris d.e.-ek. Új ismeretlen bevezetése. Iránymező, izoklina alkalmazása. Órai feladatsor: 2. hét Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2P 1.3.1-6., 1.4.1-3., 1.5.1-3. Mateking: izoklinák
3. 02.18.	Kedd: Inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának keresése állandóvariálással és a próbafüggvény módszerével. Külső rezonancia. Csütörtök: Lineáris rekurziók példák. Numerikus sorok bevezetése, részsorozat, összeg. Harmonikus sor, végtelen mértani sor. Összeg és számszoros konvergenciája.	Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek megoldása. Órai feladatsor: 3. hét Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2P 1.6. fejezet. Mateking: differenciálegyenletek
4. 02.25.	Kedd: Cauchy-kritérium. Szükséges feltétel a konvergenciára. Leibniz-sorok. Majoráns és minoráns kritériumok. Csütörtök: Numerikus sorok folytatása. Abszolút- és feltételes konvergencia. Gyök-, hányados- és integrálkritériumok.	Lineáris rekurziók. Numerikus sorok I (Numerikus sorok bevezetése, részsorozat, összeg, Harmonikus sor, végtelen mértani sor. Összeg és számszoros konvergenciája. Cauchy-kritérium. Szükséges feltétel a konvergenciára. Leibniz-sorok. Majoráns és minoráns kritériumok.) Órai feladatsor: 4. hét Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2J 1.99, A2P 1.7.3, 1.7.4. A1P 2.1-2.2 fejezet. Mateking: sorok, hatványsorok, Taylor-sorok
5. 03.04.	Kedd: Függvénysorozatok (konvergenciatartomány, egyenletes konvergencia és következményei) és függvénysorok (konvergenciatartomány, összegfüggvény, egyenletes konvergencia, Cauchy-kritérium). Csütörtök: Függvénysorok folytatás (abszolút konvergencia, Weierstrass-kritérium, egyenletes konvergencia és következményei). Hatványsorok bevezetése.	Numerikus sorok II (Abszolút- és feltételes konvergencia. Gyök-, hányados- és integrálkritériumok.). Órai feladatsor: 5. hét Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A1P 2.3-2.5 fejezet. A1P 5.9 fejezet. Mateking: sorok, hatványsorok, Taylor-sorok
6. 03.11.	Kedd: Hatványsorok konvergenciasugara és konvergenciatartománya. Az összegfüggvény folytonossága, integrálhatósága és deriválhatósága, a szumma és a deriválás, integrálás, határérték felcserélhetősége. A Taylor-polinom. Csütörtök: Taylor-sor, Lagrange-féle maradéktag alakja. Hibabecslések a maradéktaggal. Elégséges feltétel a maradéktag nullához tartására. Nevezetes függvények Taylor-sora (sin, cos, exp, sh, ch, 1/(1-x)). Binomiális sor.	Függvénysorok, hatványsorok. Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2J 96. oldal 2.36. példa. A2P 2.3. fejezet. Órai feladatsor: 6. hét Mateking: sorok, hatványsorok, Taylor-sorok zh1: március 12. (kedd) 18-20. Március 15. miatt a pénteki gyakorlatok elmaradnak.
03.18.	Kedd: Tavaszi szünet. Csütörtök: Tavaszi szünet.	Tavaszi szünet
7. 03.25.	Kedd: További példák Taylor-sorokra. Többváltozós függvények bevezetése, szemléltetésük, pontsorozatok. Csütörtök: Többváltozós függvények határértéke, folytonossága. Parciális derivált.	Taylor-polinom. Taylor-sor. Binomiális sor. Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2P 2.4., 2.5.és 2.6. fejezetek. Órai feladatsor: 7. hét Mateking: sorok, hatványsorok, Taylor-sorok
8. 04.01.	Kedd: Parciális derivált példák. Totális derivált definíciója, két szükséges és egy elégséges feltétele. Csütörtök: Példák a totális deriváltra. Kétváltozós függvények érintősíkjának egyenlete. Teljes differenciál fogalma. Iránymenti derivált és kiszámítása.	Többváltozós függvények folytonossága, parciális és totális deriváltja. Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2P 3.1. és 3.2. fejezetek. Órai feladatsor: 8. hét Mateking: kétváltozós határérték, totális differenciálhatóság
9. 04.08.	Kedd: Gradiensvektor tulajdonságai, a maximális és minimális iránymenti derivált, a szintfelület és a gradiens kapcsolata. Magasabbrendű parciális deriváltak, Young-tétel (parciális deriváltakkal). Lokális szélsőérték fogalma, szükséges feltétele parciálisan deriválható függvény esetén. Csütörtök: Többváltozós függvények lokális és abszolút szélsőértékei.	Érintősík, teljes differenciál, iránymenti derivált. lokális szélsőérték. A2P 3.3.1-5. Számítsuk ki $\sqrt{1.02^3+1.97^3}$ közelítő értékét egy megfelelően választott kétváltozós függvény érintősíkos közelítésével (Mo.: 2.95 a tényleges érték kb. 2.9507)! Egy körhenger sugarát 1%-os, magasságát 2%-os hibával mérjük. Becsüljük meg a henger térfogatának lehetséges hibáját (Mo.: 4%)! A2P 3.5.1-3. Órai feladatsor: 9. hét pótzh1: április 12. (péntek) 8-10. Mateking: kétváltozós függvények
10. 04.15.	Kedd: Dékáni szünet a Simonyi konferencia miatt. Az előadás elmarad. Csütörtök: Szélsőérték gyakorlás. Vektor-vektor függvények deriváltja, összetett függvény deriválása, láncszabály.	Gyakorlás. Abszolút szélsőérték. Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2P 3.5.4. Órai feladatsor: 10. hét Április 19. nagypéntek. A pénteki gyakorlatok elmaradnak. Mateking: kétváltozós függvények
11, 04,22.	Kedd: Kétváltozós függvények integrálása téglalapon ill. normáltartományon. Csütörtök: (Összevont előadás a Q-I teremben) Integrálás normáltartományon (további gyakorlás). Helyettesítéses integrálás kétváltozóban. Síkbeli polár koordinátatranszformáció. Példák.	Összetett függvény deriválás. Integrálás téglalapon és normáltartományon. Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2P 3.4.1-4., 3.6.1. fejezet. Órai feladatsor: 11. hét Április 22. Húsvét hétfő. A hétfői gyakorlatok elmaradnak. Mateking: kettős és hármas integrál
12. 04.29.	Hétfő: (bővebb infó). Kedd: Kétváltozós helyettesítés gyakorlása, az $\int_0^\infty exp(-x^2)$ improprius integrál kiszámítása. Háromváltozós függvények integrálása (téglán, normáltartományon). Csütörtök: Háromváltozós függvények integrálása helyettesítéssel (henger, gömbi polár). A Jordan-mérték.	Integrálás helyettesítéssel. Háromváltozós függvények integrálása téglán és normáltartományon. Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2P 3.6.2. és 3.6.3. fejezetek, ill. 3.7.1. feladat. Órai feladatsor: 12. hét Mateking: kettős és hármas integrál
13. 05.06.	Kedd: Fourier-sorok: Skaláris szorzás, Euklideszi-tér. Ortogonalitás, norma. A trigonometrikus rendszer ortogonalitása. A tagok normái. Egyenletesen konvergens trigonometrikus sor együtthatói egyértelműen meghatározottak. Fourier-sor definíciója. Folytonos fv. egyenletesen konvergens Fourier-sora előállítja a függvényt. Csütörtök: Dirichlet-tétel. Trigonometrikus rendszer teljessége. Páratlan és páros függvények Fourier-sora. Példák.	Háromváltozós függvények integrálása helyettesítéssel. Fourier-sorok. Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2P 3.7.2-6., 2.7.2-3. zh2: május 10. (péntek) 8-10. Órai feladatsor: 13. hét Mateking: kettős és hármas integrál, Mateking: Fourier-sorok
14. 05.13.	Kedd: Fourier-transzformáció értelmezése, tulajdonságai műveleti szabályok. Csütörtök: Konvolúció és tulajdonságai. Alkalmazások.	Fourier-transzformáció (előadáson kerül gyakorlásra). Önálló gyakorlásra javasolt feladatok: A2P 2.7.5-8, Fourier-transzformáció és feladatok 5. fejezet 2-8.

Oktatók

Előadások Kedd, csütörtök 12-14	A0 - Horváth Róbert IB027 B0 - Bodrogné Réffy Júlia IB028
Gyakorlatok Hétfő 12-14	A01 - Zibolen Endre E404 A02 - Bunth Gergely E405 A03 - Schuszter Miklós E406 A04 - Richlik György R505 A05 - Hegyi Veronika E306cd A06 - Szekeres András R504
Gyakorlatok Csütörtök 8-10	A07 - Buzás Attila E404 A08 - Pataki Gergely IB145 A09 - (nem indul) IB146 A10 - Földesi Edit E407 A11 - Hegyi Veronika E306cd
Gyakorlatok Péntek 10-12	i2 - Kovács Péter IE219
Gyakorlatok Péntek 12-14	A12 - Richlik György E405 A13 - Szekeres András E406 A14 - Takács Balázs R515 A15 - (nem indul) E306cd A16 - Lovas Attila R504 i1 - Zibolen Endre E305ab i3 - Kovács Péter E401

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Analízis és Operációkutatás Tanszék
Analízis Csoport

Analízis 2 informatikusoknak (BMETE90AX22/A0 - 2018/19/2)

Tartalom

Belső linkek

Szolgáltatások

Hasznos linkek