Numerikus analízis (BMETE92AM43/T0)

Kurzus típus: 
Elmélet
Nyelv: 
magyar
Félév: 
2017/18/1
Órarendi információ: 

Sz 10:15-12:00 (K376)

  Hírek 

  Az előadások, gyakorlatok és laborok anyaga:   Lásd még a gyakorlatvezető honlapját is.

 Eredmények: 

A hallgatók zh-eredményei

 Az előadások és gyakorlatok beosztása: 

Hét Előadás (SZ 10-12) Labor és gyakorlat (CS 10-14)
1. hét, 09.04. 

A félévi követelmények ismertetése. A tantárgy témájának ismertetése. Modellalkotás és annak szükségszerűsége. Példák. Normált terek. Banach-féle fixponttétel. Vektor- és mátrixnormák.  Euklideszi terek. Ortogonális polinomok. Speciális mátrixok (sávmátrixok, szimmetrikus mátrixok, permutációs mátrixok, ortogonális mátrixok, diagonális dominancia, definitség, M-mátrixok). Sajátérték és sajátvektor. Gersgorin-tételek.

  • Bevezetés: csak tájékoztató jelleggel szerepelt. Nem kérjük számon.
  • Normált terek: a definíciókat és a tételeket kell ismerni, de nem kell tudni bizonyítani semmit sem.
  • Lineáris operátorok: nem kell.
  • Vektor és mátrixnormák: minden kell, a 19. tétel ($p=2$ eset igazolása később szerepel a Normák és sajátérték részben) és a 20. tétel bizonyítása is. 
  • Euklideszi terek: egyelőre kimarad, később lesz majd.
  • Mátrixok speciális tulajdonságai: minden kell. 
  • Sajátértékek és sajátvektorok: minden állítást és definíciót ismerni kell, de csak a Gersgorin-tételt kell bizonyítani.

Az Matlab programmal való ismerkedés mindig az aktuális témával kapcsolatosan történik. Ezeket itt nem tüntetem fel.  

Vektor- és mátrixnormák kiszámítása. Feladatok a normákkal kapcsolatban.  Banach-féle fixponttétel. Az 1-es mátrixnorma képletének igazolása. Speciális mátrixok (pl. M-mátrixok). Sajátértékek és sajátvektorok. Gersgorin-tételek.

2. hét 09.11.

Diagonalizálhatóság. A 2-es mátrixnorma kiszámítása, sajátértékek és norma kapcsolata. $A^k$ nullához tartása és $\sum A^k$ konvergenciája. M-mátrix elégséges feltétele. Kondicionáltság. Gépi számábrázolás tulajdonságai.

  • Diagonalizálhatóság: minden állítást és definíciót ismerni kell, de nem kell tudni igazolni semmit.
  • Normák és sajátérték: minden kell, kivéve az 50. tétel bizonyítása.
  • Lehetséges hibaforrások: nem kell.
  • Korrekt kitűzésű feladatok: nem kell.
  • Kondicionáltság, kondíciószám: a definíciókat kell ismerni, ill. a 75. oldali képleteket a kondíciószámra.
  • Gépi számábrázolás és következményei: ismerni kell a szokásos dupla pontosságú (64 bites) lebegőpontos számrendszer konstrukcióját és annak nevezetes számait, az 57. tételt és bizonyítását, ill. a kiegyszerűsödés jelenségét.

Diagonalizálhatóság és sajátértékek. Normák és sajátértékek kapcsolata (51. és 52. tételek bizonyításai). Feladatok kondicionáltsága. Gépi számábrázolás vizsgálata.

3. hét 09.18. Sportnap miatt nincs előadás. Az előző két hét anyagának további gyakorlása.
4. hét 09.25.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása. Mátrixok kondíciószáma. Gauss-módszer és vizsgálata. $LU$-felbontás. Főelemkiválasztás. Általános $LU$-felbontás, $LDM^T$ felbontás, Cholesky-felbontás.

  • Lineáris egyenletrendszerek: nem kell.
  • Mátrixok kondíciószáma: kell, a kondíciószám tulajdonságainak az igazolása is (az első négy).
  • A megoldás érzékenysége: kell, kivéve a 60. tétel bizonyítása.
  • Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei: kell.
  • Gauss-módszer: kell. 
  • A Gauss-módszer algoritmusa: a módszert végre kell tudni hajtani az előadáson szereplő mintafeladat mintájára.
  • A Gauss-módszer végrehajthatósága: kell, kivéve a 62. tétel bizonyítása.
  • A Gauss-módszer műveletigénye: kell.
  • LU-felbontás: kell, kivéve a 133. oldal.
  • Főelemkiválasztás: kell.
  • LU-felbontás általános mátrixokra: Csak a 67. tétel kell bizonyítás nélkül.  
  • $LDM^T$-felbontás: kell.
  • Cholesky-felbontás: kell.
Lineáris egyenletrendszerek direkt módszerei. 
5. hét 10.02.

Lineáris egyenletrendszerek iterációs megoldása. Jacobi- és Gauss-Seidel-iterációk és ezek relaxált változatai. A konvergencia szükséges és elégséges feltétele. Konvergencia különböző mátrixtípusok esetén. Gradiens típusú módszerek bevezetése.

  • Lineáris iterációs eljárások: kell.
  • Jacobi-módszer: kell.
  • Gauss-Sidel-iteráció: kell.
  • Relaxációs módszerek: kell.
  • Konvergencia: kell. Bizonyítani csak a  74., 75., 76. és 77. tételeket kell.
  • Leállási feltételek: kell.
 Lineáris egyenletrendszerek klasszikus iterációs megoldása.
6. hét, 10.09.

Gradiens és konjugált gradiens módszerek. QR-felbontás Householder-tükrözésekkel vagy Givens-forgatással. Túlhatározott egyenletrendszerek megoldása.

  • Minimalizáló tulajdonság (Gradiens módszerek): kell. A 81. tételnél a bizonyítás nem kell (de tudni kell, hogy $grad \phi=Ax-b$ ). 
  • Gradiens-módszer: kell, kivéve a 83. tételt.
  • Konjugált gradiens módszer: kell, kivéve a tételek bizonyításai, a 88. tétel pedig egyáltalán nem kell.
  • Javított algoritmus: kell.
  • Megjegyzések: csak az első oldal kell.
  • Householder-tükrözés: kell.
  • QR-felbontás: kell.
  • Givens-forgatás: kell.
  • Túlhatározott rendszerek megoldása: kell (csak annyi, ami előadáson szerepelt).  
Gradiens-módszerek. QR-felbontás Householder-tükrözésekkel vagy Givens-forgatással. Túlhatározott egyenletrendszerek megoldása.
7. hét 10.16.

Első évfolyamzh, H8-10. Sajátértékfeladatok megoldása (kondicionáltság, hatványmódszer, inverz iteráció, Rayleigh-hányados iteráció, QR-iteráció)

  • Kondicionáltság: kell, kivéve a 93. tétel bizonyítása.
  • Hatványmódszer: kell.
  • A Rayleigh-hányados: kell, kivéve a 96. tétel bizonyítása.
  • Inverz iteráció: kell.
  • Rayleigh-hányados iteráció: kell.
  • Householder-defláció: nem kell.
  • Rangcsökkentés: nem kell.
  • A Jacobi-módszer: nem kell.
  • QR-iteráció: kell, kivéve a 99. tétel.
Sajátértékfeladatok megoldása.
8. hét 10.23.

Nemlineáris egyenletek megoldása (bevezetés, kondicionáltság, konvergenciasebesség, intervallumfelezési módszer, Newton-módszer, fixpont iterációk, a Newton-módszer nemlineáris egyenletrendszerek megoldására). Polinominterpoláció (alapfeladat és egyértelmű megoldása, Lagrange-féle alappolinomok, az interpolációs polinom előállítása Lagrange és Newton módszerével).

  • Nemlineáris egyenletek megoldása - nemlineáris egyenletek: kell.
  • Polinomok: nem kell.
  • Kondicionáltság: kell.
  • Konvergenciasebesség: csak az első dia kell a definícióval.
  • Geometriai módszerek: csak az intervallumfelezési és a Newton-módszer kell (ez utóbbinál a tételek is kellenek bizonyítással együtt).
  • Fixpont iterációk: kell, kivéve a 109. tétel.
  • Aitken-gyorsítás: nem kell, viszont ezen rész végén szerepel külön cím nélkül a nemlineáris egyenletrendszerek megoldása, ami kell.
  • Interpoláció alapfeladata: kell.
  • Lagrange-polinom: kell.
  • (A következő pár fejezet később fog szerepelni.)
  • Newton-féle előállítás: kell (a 10. héten még visszatérünk erre a témára).
Nemlineáris egyenletek megoldása
9. hét 10.30. Mindenszentek miatt nincs előadás. Polinominterpoláció.
10.hét 11.06.

Interpolációs feladatok befejezése. Numerikus deriválás és integrálás a Newton-Cotes-formulákkal.

  • Interpolációs hiba: 113. tétel bizonyítással együtt, ill. a fejezetből a gyakorlaton használt képletek.
  • Csebisev-polinomok: kell, kivéve a tételek bizonyításait.
  • Hermite-interpoláció: kell. A tétel bizonyítása ill. a Lagrange-módszerrel történő előállítás nem kell.
  • Spline interpoláció: annyi kell, ami gyakorlaton szerepelt.
  • A Trigonometrikus interpoláció, és a Közelítés legkisebb négyzetek értelemben fejezetek nem kellenek.
  • Numerikus differenciálás: kell, kivéve az utolsó három fejezet (Lépéstávolság dilemma, Más közelítések, Richardson-extrapoláció).
  • Numerikus integrálás - Motiváció: kell.
  • Kvadratúraformulák: kell.
  • Newton-Cotes-formulák: kell, kivéve a 133. tételt.

Numerikus deriválás és integrálás (Newton-Cotes-formulákig).

11.hét 11.13.

Összetett kvadratúraformulák. Konvergenciarend. KonverGauss-kvadratúra.

  • Összetett kvadratúraformulák: kell, de igazolni csak a 135. tételt kell tudni.
  • Romberg-módszer: kell.
  • Gauss-kvadratúra: kell, kivéve a 140. és 141. tételeket.

A TDK-konferencia miatt nincs gyakorlat és labor.

12.hét 11.20. Közönséges differenciálegyenletek megoldásának bevezetése. Euler-módszerek, Crank-Nicolson-módszer. Runge-Kutta-módszerek.

Numerikus integrálás

 m-fájlok a tanult módszerekhez  

  • gauss_meth.m - Gauss-módszer és $LU$-felbontás
  • jor.m - Relaxált Jacobi-iteráció vagy JOR
  • sor.m - Relaxált Gauss-Seidel vagy SOR
  • grad.m - Gradiens-módszer
  • konjgrad.m - Konjugált gradiens-módszer

 Korábbi zárthelyi dolgozatok 

     

     Hasznos linkek