Numerikus módszerek fizikusoknak (BMETE92MF00/T0)

Kurzus típus: 
Elmélet
Nyelv: 
magyar
Félév: 
2017/18/1
Órarendi információ: 

Sz 12:15-14:00 (KF81)
Cs 12:15-14:00 (KF81)

 Hírek 

 A hallgatók eredményei 

 Az előadások ill. gyakorlatok anyaga 

Az előadások és gyakorlatok beosztása:

Hét Előadás (SZ12, CS12) Gyakorlat (SZ14 ill. CS14)
1. hét, 09.04. 

Szerda: A félévi követelmények ismertetése. A tantárgy témájának ismertetése. Modellalkotás és annak szükségszerűsége. Példák. Normált terek. Banach-féle fixpont tétel. Vektor- és mátrixnormák. Csütörtök: Speciális mátrixok (sávmátrixok, szimmetrikus mátrixok, permutációs mátrixok, ortogonális mátrixok, diagonális dominancia, definitség, M-mátrixok). Sajátérték és sajátvektor. Gersgorin-tételek. Mátrixok hasonlósági transzformációi, tulajdonságai. Diagonalizálhatóság és feltételei.

  • Bevezetés: csak tájékoztató jelleggel szerepelt. Nem kérjük számon.
  • Normált terek: a definíciókat és a tételeket kell ismerni, de nem kell tudni bizonyítani semmit sem.
  • Lineáris operátorok: nem kell.
  • Vektor és mátrixnormák: minden kell, a 19. tétel ($p=2$ eset igazolása később szerepel a Normák és sajátérték részben) és a 20. tétel bizonyítása is. 
  • Euklideszi terek: egyelőre kimarad, később lesz majd.
  • Mátrixok speciális tulajdonságai: minden kell. 
  • Sajátértékek és sajátvektorok: minden állítást és definíciót ismerni kell, de csak a Gersgorin-tételt kell bizonyítani.
  • Diagonalizálhatóság: minden állíltást és definíciót ismerni kell, de nem kell tudni igazolni semmit.
Vektor- és mátrixnormák kiszámítása. Feladatok a normákkal kapcsolatban. Az 1-es mátrixnorma képletének igazolása. 
2. hét, 09.11.

Szerda: A 2-es mátrixnorma képletének igazolása. Spetrálsugár becslése normával. Az $A^k$ sorozat, ill. $\sum A^k$ sor konvergenciája. Alsó és felső becslés az $\|(E-A)^{-1}\|$ normára. Elégséges feltétel arra, hogy egy mátrix M-mátrix legyen (gyakorlaton). Korrekt kitűzésű feladatok, kondicionáltság és kondíciószám. Gépi számábrázolás. A dupla pontosságú (64) bites lebegőpontos számrendszer. Csütörtök:  A gépi számábrázolás folytatása. Mátrixok kondíciószáma, lineáris egyenletrendszerek (LER) érzékenysége az együtthatókra. A Gauss-módszer.

  • Normák és sajátérték: Az 50. tétel bizonyításán kívül minden kell. Az 53. tétel bizonyítását lásd gyakorlaton. Ebben a részben szerepel a 2-es mátrixnorma képletének igazolása is (19. tétel). 
  • Lehetséges hibaforrások: nem kell.
  • Korrekt kitűzésű feladatok: a definíciót kell ismerni.
  • Kondicionáltság, kondíciószám: minden kell.
  • Gépi számábrázolás és következményei: minden kell, különös tekintettel a dupla pontosságú lebegőpontos számrendszer konstrukciójára, ill. a kiegyszerűsödés jelenségére. 
  • Lineáris egyenletrendszerek: nem kell, csak emlékeztető volt.
  • Mátrixok kondíciószáma: kell, a kondíciószám tulajdonságainak az igazolása is (az első négy).
  • A megoldás érzékenysége: kell.
  • Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei: kell.
  • Gauss-módszer: kell. 
Banach-féle fixponttétel. Gersgorin-tételek. Normák és sajátétékek kapcsolata. Nevezetes mátrixtípusok. Lebegőpontos számábrázolás.  
3. hét, 09.18.

Szerda: Sportnap miatt nincs előadás. Csütörtök: A Gauss-módszer végrehajthatósága, és vizsgálata. $LU$-felbontás. Főelemkiválasztás. Általános $LU$-felbontás, $LDM^T$-felbontás, Cholesky-felbontás (köv. hétre csúcsik).

  • A Gauss-módszer algoritmusa: a módszert végre kell tudni hajtani az előadáson szereplő mintafeladat mintájára.
  • A Gauss-módszer végrehajthatósága: kell, kivéve a 62. tétel első pontjának bizonyítása.
  • A Gauss-módszer műveletigénye: kell.
  • LU-felbontás: kell. A 66. tételt nem kell ismerni pontosan, elég annyi, hogy L elemeinek abszolút értékben való csökkentésével lehet csökkenteni az LU-felbontás hibáját.
  • Főelemkiválasztás: kell.
  • LU-felbontás általános mátrixokra: kell, kivéve a 67. tétel bizonyítása. A 142. oldalról a növekedési faktor fogalma kell, ill. az alsó képlet kvalitatív ismerete.    
  • $LDM^T$-felbontás: kell.
  • Cholesky-felbontás: kell.
A szerdai gyakorlat a sportnap miatt elmarad. Kondíciószám, LER direkt megoldási módszerei.

 

  Korábbi zárthelyi dolgozatok 

 

 Hasznos linkek