A félévi követelmények ismertetése. A tantárgy témájának ismertetése. Modellalkotás és annak szükségszerűsége. Példák. Normált terek. Banach-féle fixponttétel. Vektor- és mátrixnormák.  Euklideszi terek. Ortogonális polinomok. Speciális mátrixok (sávmátrixok, szimmetrikus mátrixok, permutációs mátrixok, ortogonális mátrixok, diagonális dominancia, definitség, M-mátrixok). Sajátérték és sajátvektor. Gersgorin-tételek.

• Bevezetés: csak tájékoztató jelleggel szerepelt. Nem kérjük számon.
• Normált terek: a definíciókat és a tételeket kell ismerni, de nem kell tudni bizonyítani semmit sem.
• Lineáris operátorok: nem kell.
• Vektor és mátrixnormák: minden kell, a 19. tétel ($p=2$ eset igazolása később szerepel a Normák és sajátérték részben) és a 20. tétel bizonyítása is. 
• Euklideszi terek: egyelőre kimarad, később lesz majd.
• Mátrixok speciális tulajdonságai: minden kell. 
• Sajátértékek és sajátvektorok: minden állítást és definíciót ismerni kell, de csak a Gersgorin-tételt kell bizonyítani.

Az Matlab programmal való ismerkedés mindig az aktuális témával kapcsolatosan történik. Ezeket itt nem tüntetem fel.  

Vektor- és mátrixnormák kiszámítása. Feladatok a normákkal kapcsolatban.  Banach-féle fixponttétel. Az 1-es mátrixnorma képletének igazolása. Speciális mátrixok (pl. M-mátrixok). Sajátértékek és sajátvektorok. Gersgorin-tételek.

2. hét 09.11.

Diagonalizálhatóság. A 2-es mátrixnorma kiszámítása, sajátértékek és norma kapcsolata. $A^k$ nullához tartása és $\sum A^k$ konvergenciája. M-mátrix elégséges feltétele. Kondicionáltság. Gépi számábrázolás tulajdonságai.

• Diagonalizálhatóság: minden állítást és definíciót ismerni kell, de nem kell tudni igazolni semmit.
• Normák és sajátérték: minden kell, kivéve az 50. tétel bizonyítása.
• Lehetséges hibaforrások: nem kell.
• Korrekt kitűzésű feladatok: nem kell.
• Kondicionáltság, kondíciószám: a definíciókat kell ismerni, ill. a 75. oldali képleteket a kondíciószámra.
• Gépi számábrázolás és következményei: ismerni kell a szokásos dupla pontosságú (64 bites) lebegőpontos számrendszer konstrukcióját és annak nevezetes számait, az 57. tételt és bizonyítását, ill. a kiegyszerűsödés jelenségét.

Diagonalizálhatóság és sajátértékek. Normák és sajátértékek kapcsolata (51. és 52. tételek bizonyításai). Feladatok kondicionáltsága. Gépi számábrázolás vizsgálata.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása. Mátrixok kondíciószáma. Gauss-módszer és vizsgálata. $LU$-felbontás. Főelemkiválasztás. Általános $LU$-felbontás, $LDM^T$ felbontás, Cholesky-felbontás.

• Lineáris egyenletrendszerek: nem kell.
• Mátrixok kondíciószáma: kell, a kondíciószám tulajdonságainak az igazolása is (az első négy).
• A megoldás érzékenysége: kell, kivéve a 60. tétel bizonyítása.
• Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei: kell.
• Gauss-módszer: kell. 
• A Gauss-módszer algoritmusa: a módszert végre kell tudni hajtani az előadáson szereplő mintafeladat mintájára.
• A Gauss-módszer végrehajthatósága: kell, kivéve a 62. tétel bizonyítása.
• A Gauss-módszer műveletigénye: kell.
• LU-felbontás: kell, kivéve a 133. oldal.
• Főelemkiválasztás: kell.
• LU-felbontás általános mátrixokra: Csak a 67. tétel kell bizonyítás nélkül.  
• $LDM^T$-felbontás: kell.
• Cholesky-felbontás: kell.

Lineáris egyenletrendszerek iterációs megoldása. Jacobi- és Gauss-Seidel-iterációk és ezek relaxált változatai. A konvergencia szükséges és elégséges feltétele. Konvergencia különböző mátrixtípusok esetén. Gradiens típusú módszerek bevezetése.

• Lineáris iterációs eljárások: kell.
• Jacobi-módszer: kell.
• Gauss-Sidel-iteráció: kell.
• Relaxációs módszerek: kell.
• Konvergencia: kell. Bizonyítani csak a  74., 75., 76. és 77. tételeket kell.
• Leállási feltételek: kell.

Gradiens és konjugált gradiens módszerek. QR-felbontás Householder-tükrözésekkel vagy Givens-forgatással. Túlhatározott egyenletrendszerek megoldása.

• Minimalizáló tulajdonság (Gradiens módszerek): kell. A 81. tételnél a bizonyítás nem kell (de tudni kell, hogy $grad \phi=Ax-b$ ). 
• Gradiens-módszer: kell, kivéve a 83. tételt.
• Konjugált gradiens módszer: kell, kivéve a tételek bizonyításai, a 88. tétel pedig egyáltalán nem kell.
• Javított algoritmus: kell.
• Megjegyzések: csak az első oldal kell.
• Householder-tükrözés: kell.
• QR-felbontás: kell.
• Givens-forgatás: kell.
• Túlhatározott rendszerek megoldása: kell (csak annyi, ami előadáson szerepelt).  

Első évfolyamzh, H8-10. Sajátértékfeladatok megoldása (kondicionáltság, hatványmódszer, inverz iteráció, Rayleigh-hányados iteráció, QR-iteráció)

• Kondicionáltság: kell, kivéve a 93. tétel bizonyítása.
• Hatványmódszer: kell.
• A Rayleigh-hányados: kell, kivéve a 96. tétel bizonyítása.
• Inverz iteráció: kell.
• Rayleigh-hányados iteráció: kell.
• Householder-defláció: nem kell.
• Rangcsökkentés: nem kell.
• A Jacobi-módszer: nem kell.
• QR-iteráció: kell, kivéve a 99. tétel.

Nemlineáris egyenletek megoldása (bevezetés, kondicionáltság, konvergenciasebesség, intervallumfelezési módszer, Newton-módszer, fixpont iterációk, a Newton-módszer nemlineáris egyenletrendszerek megoldására). Polinominterpoláció (alapfeladat és egyértelmű megoldása, Lagrange-féle alappolinomok, az interpolációs polinom előállítása Lagrange és Newton módszerével).

• Nemlineáris egyenletek megoldása - nemlineáris egyenletek: kell.
• Polinomok: nem kell.
• Kondicionáltság: kell.
• Konvergenciasebesség: csak az első dia kell a definícióval.
• Geometriai módszerek: csak az intervallumfelezési és a Newton-módszer kell (ez utóbbinál a tételek is kellenek bizonyítással együtt).
• Fixpont iterációk: kell, kivéve a 109. tétel.
• Aitken-gyorsítás: nem kell, viszont ezen rész végén szerepel külön cím nélkül a nemlineáris egyenletrendszerek megoldása, ami kell.
• Interpoláció alapfeladata: kell.
• Lagrange-polinom: kell.
• (A következő pár fejezet később fog szerepelni.)
• Newton-féle előállítás: kell (a 10. héten még visszatérünk erre a témára).

Interpolációs feladatok befejezése. Numerikus deriválás és integrálás a Newton-Cotes-formulákkal.

• Interpolációs hiba: 113. tétel bizonyítással együtt, ill. a fejezetből a gyakorlaton használt képletek.
• Csebisev-polinomok: kell, kivéve a tételek bizonyításait.
• Hermite-interpoláció: kell. A tétel bizonyítása ill. a Lagrange-módszerrel történő előállítás nem kell.
• Spline interpoláció: annyi kell, ami gyakorlaton szerepelt.
• A Trigonometrikus interpoláció, és a Közelítés legkisebb négyzetek értelemben fejezetek nem kellenek.
• Numerikus differenciálás: kell, kivéve az utolsó három fejezet (Lépéstávolság dilemma, Más közelítések, Richardson-extrapoláció).
• Numerikus integrálás - Motiváció: kell.
• Kvadratúraformulák: kell.
• Newton-Cotes-formulák: kell, kivéve a 133. tételt.

Numerikus deriválás és integrálás (Newton-Cotes-formulákig).

11.hét 11.13.

Összetett kvadratúraformulák. Konvergenciarend. KonverGauss-kvadratúra.

• Összetett kvadratúraformulák: kell, de igazolni csak a 135. tételt kell tudni.
• Romberg-módszer: kell.
• Gauss-kvadratúra: kell, kivéve a 140. és 141. tételeket.

A TDK-konferencia miatt nincs gyakorlat és labor.

Közönséges differenciálegyenletek megoldásának bevezetése. Euler-módszerek, Crank-Nicolson-módszer. Runge-Kutta-módszerek.

• Kezdetiértékfeladatok numerikus megoldása - Bevezetés: kell.
• Explicit Euler-módszer: kell.
• IE és CN módszer: kell.
• Konzisztencia, stabilitás, konvergencia: kell, kivéve a 153. tétel.
• Runge-Kutta-módszerek: kell.

Numerikus integrálás

Runge-Kutta-módszerek folytatása. Abszolút stabilitás, stiff egyenletek. Többlépéses módszerek.

• Abszolút stabilitás: kell.
• Stiff egyenletek megoldása: kell.
• Prediktor-korrektor-módszerek: kell.
• Többlépéses módszerek: később szerepel előadáson, és csak olyan formában kell.
• Lineáris többlépéses módszerekről általában: kell, úgy, ahogy előadáson szerepelt.

Példa a BDF- ill. Adams-módszerekre. Példa egy nem stabil többlépéses módszerre. Peremértékfeladatok megoldása.

• Peremértékfeladatok megoldása: kell.
• Belövéses módszer: kell.
• Véges differencia módszer: kell.