A matematika számos területén találkozhatunk olyan leképezésekkel, amelyek bizonyos értelemben vett pozitivitási tulajdonsággal rendelkeznek. Gondolhatunk itt akár pozitív szemidefinit mátrixokra, korlátos pozitív operátorokra, nemnegatív (végesen additív) mértékekre, pozitív definit operátorfüggvényekre, és így tovább. Azon tételeket, amelyek egy pozitív elem (egy másikra vonatkozóan) reguláris és szinguláris részekre bonthatóságát garantálják, a mértékelméleti klasszikusra utalva Lebesgue típusú-felbontásoknak, a reguláris rész alkalmas reprezentációját pedig Radon-Nikodym típusú tételeknek nevezik. Az előadásban felidézek néhány ilyen felbontási tételt, és megmutatom, hogy hogyan lehet ezeket egységesen tárgyalni. Ha az idő engedi, akkor arról is lesz néhány szó, hogy a felbontásban szereplő reguláris rész milyen szerepet játszik egyes extremális kérdések megválaszolásában.