Kivonat: Régóta vizsgált kérdés, hogy C*-algebrán miként lehet jellemezni felcserélhetőségi tulajdonságokat a pozitív kúp indukálta rendezés (vagyis a szemidefinit rendezés) segítségével. Ogasawara 1955-ös eredménye szerint egy C*-algebra pontosan akkor kommutatív, ha a négyzetre emelés monoton növekvő leképezés a pozitív kúpon a szemidefinit rendezésre nézve. Később kiderült (Pedersen, Wu, Ji és Tomiyama munkái nyomán), hogy a fenti állításban a négyzetre emelés kicserélhető tetszőleges monoton, de nem 2-monoton (azaz a 2x2-es mátrixalgebrán már nem monoton) függvényre.

 

Molnár Lajos nemrég egy lokális állítást látott be: egy önadjungált elem egy C*-algebrában pontosan akkor centrális, ha az exponenciális függvénynek növekedési pontja. (Az x elem növekedési pontja az f függvénynek, ha $x\le y$-ból $f(x)\le f(y)$ következik, és konvexitási pontja a g függvénynek, ha $g(x+y)+g(x-y)\ge 2g(x)$ teljesül minden olyan y-ra, amelyre az egyenlőtlenség értelmes.)

 

Az előadás során definiálunk egy viszonylag tág F függvényosztályt (ami tartalmazza az összes hatványfüggvényt 1-nél nagyobb kitevővel) és egy viszonylag tág G függvényosztályt, majd belátjuk, hogy egy C*-algebra tetszőleges pozitív definit A elemére, és tetszőleges F-beli f, valamint G-beli g függvényekre a következők ekvivalensek:

i) A centrális elem,

ii) A növekedési pontja az f függvénynek,

iii) A konvexitási pontja a g függvénynek.

 

Ebből az állításból egyszerűen következnek Osagawara és Pedersen tételei, Wu és Molnár eredményei ugyanakkor - meglepő módon - nem.